L’Univers en expansion - Astroparticles and Cosmology

Dans le chapitre précédent, par de simples considérations géométriques, nous sommes parvenus à écrire la forme de la métrique solution de l’équation d’Einstein pour un Univers homogène et isotrope. D’un tenseur inconnu à 10 composantes (car la métrique est un tenseur symétrique), par des arguments de symétrie nous avons abouti à la métrique FLRW qui ne contient qu’une seule fonction inconnue du temps $a(t)$ . Pour maintenant décrire la dynamique de l’Univers, et non plus sa géométrie, il faut résoudre l’équation d’Einstein afin de comprendre comment le contenu en matière et en énergie agit sur l’expansion l’Univers via le facteur d’échelle $a(t)$ .

1Le tenseur énergie-impulsion¶

Le tenseur énergie-impulsion représente les flux de quadri-impulsions p^\mu et la densité d’énergie \epsilon dans un volume local d’espace-temps. Si le système physique étudié dans ce volume local n’est soumis à aucune force qui travaille hormis la gravitation, alors on a l’équation de conservation T^{\mu\nu}_{\;\;\;;\mu}=0. — Le tenseur énergie-impulsion représente les flux de quadri-impulsions $p^\mu$ et la densité d’énergie ε dans un volume local d’espace-temps. Si le système physique étudié dans ce volume local n’est soumis à aucune force qui travaille hormis la gravitation, alors on a l’équation de conservation $T^{\mu\nu}_{\;\;\;;\mu}=0$ .

Le tenseur énergie-impulsion $T^{\mu\nu}$ de l’équation d’Einstein décrit la densité d’énergie et les flux de quantités de mouvements en mécanique relativiste. C’est un tenseur d’ordre 2, construit à partir du vecteur 4-impulsion, qui prend la forme suivante :

T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix} T^{00}= \text{energy density}\,\,\,\, & T^{01}=\text{energy/c flux through }x_1\,\,\,\,\, & T^{02}=\text{energy/c flux through }x_2\,\,\,\,\, & T^{03}=\text{energy/c flux through }x_3 \\ T^{10}=c\times \text{density of }p_1\,\,\,\,\,\,\, & T^{11}= \text{flux of }p_1\text{ through }x_1\,\,\,\,\,\,\, & T^{12}= \text{flux of }p_1\text{ through }x_2\,\,\,\,\,\,\, & T^{13}= \text{flux of }p_1\text{ through }x_3 \\ T^{20}=c\times\text{density of }p_2\,\,\,\,\,\,\, & T^{21}= \text{flux of }p_2\text{ through }x_1\,\,\,\,\,\,\, & T^{22}= \text{flux of }p_2\text{ through }x_2\,\,\,\,\,\,\, & T^{31}= \text{flux of }p_2\text{ through }x_3 \\ T^{30}= c\times\text{density of }p_3\,\,\,\,\,\,\, & T^{31}= \text{flux of }p_3\text{ through }x_1\,\,\,\,\,\,\, & T^{32}= \text{flux of }p_3\text{ through }x_2\,\,\,\,\,\,\, & T^{33}= \text{flux of }p_3\text{ through }x_3 \end{pmatrix}

(1)

Si le système physique étudié dans ce volume local n’est soumis à aucune force qui travaille hormis la gravitation, alors on a l’équation de conservation $T^{\mu\nu}_{\;\;\;;\mu}=0$ , C’est un jeu de quatre équations qui représentent l’équation de conservation locale de l’énergie et de l’impulsion.

Quelques remarques sur les composantes de ce tenseur :

$T^{00}$ est la densité d’énergie ε locale, généralement c’est la composante dominante du tenseur énergie-impulsion;
$T^{ii}$ représentent les flux de quantité de mouvement à travers une surface donc la pression cinétique $P$ exercée par le système physique dans la direction $\vec e_i$ ;
$T^{ij},\ i \neq j$ représentent les flux d’impulsions latéralement aux déplacements, donc des phénomènes de viscosité ou de cisaillement.

Or dans notre hypothèse d’Univers de symétrie maximale, rappelons tout d’abord qu’on peut définir un temps cosmique, universel, en utilisant l’évolution physique de l’Univers comme une horloge (densité de matière, température du CMB...). Les hypersurfaces de l’espace-temps paramétrées par ce temps universel sont alors elles-mêmes des sous-espaces de symétrie maximale. Les tenseurs $\mathcal{T}$ représentants des observables cosmologiques de tels sous-espaces de symétrie maximale doivent alors être de forme invariante c’est-à-dire qu’ils restent les mêmes fonctions des coordonnées spatiales à une date $t$ quelque soit le choix du système de coordonnées choisi : si on passe d’un système $x^\rho$ à $x'^\rho$ , on doit avoir $\mathcal{T}'_{\mu\nu\ldots}(x'^\rho) = \mathcal{T}_{\mu\nu\ldots}(x'^\rho)$ . Intuitivement, si $\mathcal{T}$ est le tenseur énergie-impulsion cela revient entre autre à demander que la densité d’énergie soit identique en tout point pour tout choix de système de coordonnées Weinberg, 1972[p. 409]. On peut démontrer alors une propriété importante concernant la forme que doivent prendre les tenseurs de ces sous-espaces Weinberg, 1972[p. 392].

Par conséquent, mathématiquement on peut introduire $\epsilon(t)$ et $P(t)$ deux fonctions du temps telles que le tenseur énergie-impulsion se simplifie en :

\begin{align} T^{00} & = \epsilon(t) &\quad \text{(scalaire)} \\ T^{i0} & = T^{0i} = 0 & \quad \text{(vecteur)} \\ T^{ij} & = P(t) \gamma^{ij}& \quad \text{(tenseur d'ordre 2)} \end{align}

(11)

De manière plus élégante, on peut introduire le quadri-vecteur $U^\mu$ défini par :

U^0 = 1, \quad U^i = 0

(12)

et obtenir une écriture compacte pour le tenseur énergie-impulsion d’un Univers homogène et isotrope :

T^{\mu\nu} = (\epsilon + P) U^\mu U^\nu + P g^{\mu\nu}

(13)

En utilisant la métrique FLRW, solution d’un univers homogène et isotrope également, le tenseur énergie-impulsion s’écrit :

T^{\mu\nu} = (\epsilon + P) U^\mu U^\nu + P g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -\epsilon g^{00} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & P g^{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P g^{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & P g^{33} \\ \end{pmatrix}

(14)

Dans une base cartésienne et un espace plat, le tenseur énergie-impulsion prend la forme simple :

T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \epsilon & 0 & 0 & 0 \\ 0 & P/a^2(t) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P/a^2(t) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & P/a^2(t) \\ \end{pmatrix}.

(15)

Comment interpréter ces considérations mathématiques ? Tout d’abord, si on compare l’équation (14) avec (1) alors on identifie ε à la densité d’énergie et $P$ à la pression cinétique (flux de quantité de mouvement à travers une surface)^[1]. Ensuite, le tenseur énergie-impulsion $T^{\mu\nu}$ s’identifie à celui d’un perfect fluid. Cela signifie que dans un Univers homogène et isotrope la matière peut être décrite comme un milieu continu, dont l’évolution peut être décrite sans prendre en compte des effets de viscosité et de conduction thermique. L’évolution thermodynamique de l’Univers est donc adiabatique. Enfin, $U^\mu$ s’identifie alors à la quadri-vitesse comoving du fluide, donc le fait que $U^i = 0$ montre que le système physique étudié est au repos dans les coordonnées comovings, comme attendu.

Tenseur énergie-impulsion d’un fluide parfait Weinberg, 1972[p. 48]

Étudions un fluide parfait, c’est-à-dire un ensemble de particules dont le libre parcours moyen est petit devant les distances auxquelles on l’étudie, et sans viscosité. Étant donné la définition d’un tenseur énergie-impulsion, dans le référentiel $\mathcal{R}'$ où le fluide parfait est au repos on peut écrire :

T'^{ij} = P \delta^{ij}, \quad T'^{i0} = T'^{0i} = 0, \quad T'^{00} = \rho c^2

(16)

où explicitement ρ est la densité massique propre du fluide et $P$ sa pression cinétique (donc un flux de quantité de mouvement à travers une surface). Dans un autre référentiel, celui d’un observateur de l’écoulement par exemple, ce tenseur énergie-impulsion se réécrit :

T^{\mu\nu} = \Lambda^{\mu}_{\;\alpha} \Lambda^{\nu}_{\;\beta} T^{\alpha\beta}

(17)

avec $\Lambda^\mu_{\;\alpha}$ la transformation de Lorentz définie par l’équation (7). Plus explicitement :

T^{ij} = P \delta^{ij} + (P + \rho c^2) \frac{v^i v^j}{c^2- v^2}, \quad T^{i0} = (P + \rho c^2) \frac{c v ^i}{c^2 - v^2}, \quad T^{00} = \frac{\rho c^4 + P v^2}{c^2 - v^2}

(18)

Définissons la quadri-vitesse en coordonnées comovings ainsi :

\vec U =\frac{ \dd \vec x }{c \dd \tau} = \frac{\vec v / c }{ \sqrt{1-v^2}}, \quad U^0 = \frac{\dd t }{\dd \tau} = \frac{1 }{ \sqrt{1-v^2}}, \quad U_ \mu U ^\mu = -c^2

(19)

alors le tenseur s’écrit :

T^{\mu\nu} = (\rho c^2 + P) U^\mu U^\nu + P \eta^{\mu\nu}

(20)

L’équation (14) correspond donc bien à la définition d’un tenseur énergie-impulsion pour un fluide parfait dans le cadre relativiste.

Remarquons que dans un espace-temps plat, la conservation du tenseur énergie-impulsion d’un fluide parfait permet de retrouver l’équation de Navier-Stokes sans viscosité et sans forces extérieures, et l’équation de conservation de la matière. Pour simplifier, ramenons-nous au cas d’un fluide incompressible donc $\dd \rho / \dd t = 0$ et non relativiste donc $P / \rho c^2 \propto (v/c)^2 \ll 1$ . Alors :

0 = \frac{\partial T^{\mu\nu}}{\partial x^\nu} \Rightarrow \left\lbrace\begin{align*} & \mu = i:\ & 0 = & \vec\nabla P + \rho \frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v \cdot \vec\nabla)(\vec v) \\ & \mu = 0:\ & 0 = & \rho \vec \nabla \vec v + \frac{\partial \rho}{\partial t} \end{align*}\right.

(21)

2Les équations de Friedmann¶

Résoudre l’équation d’Einstein (42) consiste à en trouver une métrique solution, compte tenu de la répartition en matière et énergie codée dans $T^{\mu\nu}$ . Supposer les principes d’homogénéité et d’isotropie pour ce tenseur, impose que la métrique est la métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW), utilisant le jeu de coordonnées comovings sphériques usuel $(ct, \sigma, \theta, \phi)$ :

\begin{aligned} \displaystyle g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{a^2(t)}{1-k\sigma^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2(t)\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2(t) \sigma^2 \sin^2 \theta \\ \end{pmatrix},\end{aligned}

(22)

où $a(t)$ est une fonction inconnue. Le paramètre d’échelle $a(t)$ peut être obtenu en résolvant l’équation d’Einstein connaissant le contenu du tenseur énergie-impulsion de l’Univers $T^{\mu\nu}$ et la valeur de $k$ . Pour la métrique FLRW, son inverse est simplement:

g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1-k\sigma^2}{a^2(t)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{a^2(t)\sigma^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{a^2(t) \sigma^2 \sin^2 \theta} \\ \end{pmatrix}.

(23)

En utilisant la métrique FLRW (22), calculons pour l’exemple la connexion affine suivante à partir de l’équation (20):

\begin{aligned} \Gamma^1_{\ 01} & = \frac{1}{2} g^{1 \mu} \left( \partial_0 g_{1\mu} + \partial_1 g_{0 \mu} - \partial_\mu g_{01} \right) \\ & = \frac{1}{2} g^{1 1} \left(\frac{\partial g_{11}}{c\partial t} + \partial_\sigma g_{01} - 0 \right) \text{ car } \forall \mu \neq 1, g^{1\mu}=0\\ & = \frac{1}{2} \frac{1-k\sigma^2}{a^2} \left( \frac{2 \dot{a} a}{c(1-k\sigma^2)} + 0 \right) \\ & = \frac{\dot a}{ca} = \frac{H}{c}. \end{aligned}

(24)

De la même manière, on obtient les autres connexions affines, puis les tenseurs de Riemann et Ricci. Au final, le tenseur d’Einstein est diagonal et vaut:

\begin{aligned} G_{00} & = - 3 \left( \frac{\dot{a}^2}{c^2 a^2}+ \frac{k}{a^2} \right), \\ G_{ij} & = \frac{2\ddot{a}a + \dot{a}^2 + c^2 k}{c^2 a^2}g_{ij} \text{ pour } i=j\neq 0. \end{aligned}

(25)

A partir de l’équation d’Einstein (42) et du tenseur énergie-impulsion (15), on obtient pour la coordonnée 00 et pour les coordonnées spatiales $ij$ :

\begin{aligned} G_{\mu\nu}-\Lambda g_{\mu\nu} & = -8\pi \GN T_{\mu\nu}/c^4 \\ \Leftrightarrow & \left\lbrace \begin{array}{rl} \text{00: } & \displaystyle{3 \left( \frac{\dot{a}^2}{a^2}+ \frac{c^2 k}{a^2} \right) = 8\pi \GN \rho + c^2 \Lambda} \\ ij\text{: } & \displaystyle{\frac{2\ddot{a}a + \dot{a}^2 + c^2 k}{a^2} = - \frac{8\pi \GN}{c^2 } P + c^2 \Lambda } \end{array} \right.\end{aligned}

(26)

Ce sont les deux équations de Friedmann. Les voici maintenant exprimées en fonction du paramètre de Hubble $H=\dot{a}/a$ :

\left\lbrace \begin{array}{rl} \text{00: } & \displaystyle{H^2 = \frac{8\pi \GN \rho}{3} + \frac{c^2 \Lambda}{3} - \frac{c^2 k}{a^2}}\\ ij\text{: } & \displaystyle{2\dot{H} + 3H^2 = - \frac{8\pi \GN}{c^2 } P + c^2 \Lambda - \frac{c^2 k}{a^2}} \end{array} \right.

(27)

La première équation de Friedmann relie explicitement l’évolution du facteur d’échelle $a(t)$ au contenu énergétique de l’Univers. De plus, en soustrayant ces deux équations et en combinant le résultat avec la dérivée temporelle de la première, on peut obtenir l’équation de conservation de l’énergie que l’on obtiendrait aussi directement en calculant $T^{\mu\nu}_{\;\;\;;\mu}=0$ dans la métrique FLRW :

\boxed{\dot{\epsilon} = -3 H( \epsilon + P )}

(28)

Exercise 1

In this exercise, we use the FLRW metric in cartesian coordinates, and the corresponding stress energy tensor for a perfect fluid:

g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^2(t) & 0 & 0 \\ 0 & 0& a^2(t) & 0 \\ 0 & 0& 0& a^2(t) \\ \end{pmatrix}\qquad T_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &a^2 P & 0 & 0 \\ 0&0&a^2 P &0 \\ 0&0&0&a^2 P \end{pmatrix}

(29)

We recall the following formula for the Christoffel and Riemann tensors:

\begin{align} \Gamma^\kappa_{\ \mu\nu} &= \frac{1}{2}g^{\kappa\lambda}\left( g_{\mu\lambda,\nu}+g_{\lambda\nu,\mu}-g_{\mu\nu,\lambda} \right) \\ R^{\mu}_{\ \nu\alpha\beta} &= -\Gamma^\mu_{\ \nu\beta,\alpha} + \Gamma^\mu_{\ \nu\alpha,\beta} - \Gamma^\lambda_{\ \nu\beta}\Gamma^\mu_{\ \lambda\alpha} + \Gamma^\lambda_{\ \nu\alpha}\Gamma^\mu_{\ \lambda\beta} \\ R_{\mu\nu}& = R^\rho_{\ \mu\rho\nu} = -\Gamma^\rho_{\ \mu\nu,\rho} + \Gamma^\rho_{\ \mu\rho,\nu} - \Gamma^\rho_{\ \rho\lambda}\Gamma^\lambda_{\ \mu\nu} + \Gamma^\rho_{\ \nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\ \mu\rho} \\ R &= g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} \end{align}

(30)

with $_{,\mu}$ the derivative $\partial / \partial x^\mu$ .

Show that $\Gamma^0_{\ ij} = \dot{a}a/c \delta_{ij}$ and $\Gamma^j_{\ 0i}=\dot{a}/(ac)\delta^j_i$ , with the latin index standing for the spatial coordinates $i=1,2,3$ . The other Christoffel symbols are null.
Show that $R_{00}=3\ddot{a}/(ac^2)$ and $R_{ij}=-(\ddot{a}a+2\dot{a}^2)\delta_{ij}/c^2$ .
Show that $R=-6\left(\ddot{a}/a+(\dot{a}/a)^2\right)/c^2$ and finally that $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-g_{\mu\nu}R/2$ is:

G_{\mu\nu}={1 \over c^2}\begin{pmatrix} 3{\dot{a}^2\over a^2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-2\ddot{a}a-\dot{a}^2 & 0 & 0 \\ 0&0& -2\ddot{a}a-\dot{a}^2 &0 \\ 0&0&0&-2\ddot{a}a-\dot{a}^2 \end{pmatrix}

(31)

Write the two Friedmann equations in term of the Hubble parameter $H=\dot{a}/a$ instead of $a$ .
From the two Friedmann equations, find the energy conservation equation law $\dot{\rho} c^2 = -3 H(\rho c^2 + P)$ .

Solution to Exercise 1

Let’s compute the Christoffel symbols:

\begin{align} \Gamma^{0}_{\mu\nu} & = \frac{1}{2}g^{0\lambda}\left( g_{\mu\lambda,\nu}+g_{\lambda\nu,\mu}-g_{\mu\nu,\lambda} \right) \\ & = \frac{1}{2}g^{00}\left( g_{\mu 0,\nu}+g_{0\nu,\mu}-g_{\mu\nu,0} \right) \\ & = \frac{1}{2}g^{00}\left( g_{0 0,\nu}+g_{00,\mu}-g_{\mu\nu,0} \right) \\ & = \frac{1}{2}(-1)\times\left( 0+ 0 -g_{\mu\nu,0} \right) \\ & = \frac{1}{2}g_{\mu\nu,0} \end{align}

(32)

We find:

\Gamma^{0}_{ij} = -\frac{1}{2}g_{ij,0} = -\frac{1}{2}\frac{\partial (-a^2(t))}{c\partial t} \delta_{ij}= \frac{\dot{a}a}{c} \delta_{ij}

(33)

with $\delta_{ij}$ the Kronecker symbol such that $\delta_{ij}=1$ only if $j=i$ . It is a number (not a matrix). Then:

\begin{align} \Gamma^{j}_{0i} & = \frac{1}{2}g^{j\lambda}\left( g_{0\lambda,i}+g_{\lambda i,0}-g_{0i,\lambda} \right) \\ & = \frac{1}{2}g^{jk}\left( g_{0k,i}+g_{ki,0}-g_{0i,k} \right) \\ & = \frac{1}{2}g^{jk}\left( 0+g_{ki,0}-0 \right) \\ & = \frac{1}{2}g^{jk}\times\left( \frac{-2a\dot{a}}{c}\delta_{ik} \right) \\ & = g^{jk}\times\left( +\frac{\dot{a}}{ac}g_{ik} \right) \\ & = \frac{\dot{a}}{ac}\delta^j_i \end{align}

(34)

with $\delta^j_i$ the identity matrix ( $\delta^i_i = 3$ , but $\delta_{ii}=1$ ).

Now the Ricci tensors :

\begin{align} R_{00} & = -\Gamma^\rho_{\ 00,\rho} + \Gamma^\rho_{\ 0\rho,0} - \Gamma^\rho_{\ \rho\lambda}\Gamma^\lambda_{\ 00} + \Gamma^\rho_{\ 0\lambda}\Gamma^\lambda_{\ 0\rho} \\ & = 0 + \Gamma^\rho_{\ 0\rho,0} + 0 + \Gamma^\rho_{\ 0\lambda}\Gamma^\lambda_{\ 0\rho} \\ & = + \Gamma^i_{\ 0i,0} + 0 + \Gamma^i_{\ 0j}\Gamma^j_{\ 0i} \\ & = 3\frac{\ddot{a}a-\dot{a}^2}{a^2 c^2} + \left(\frac{\dot{a}}{ac}\right)^2 \delta^i_j \delta^j_i\\ & = 3\frac{\ddot{a}a-\dot{a}^2}{a^2 c^2} + 3 \left(\frac{\dot{a}}{ac}\right)^2\\ & = 3 \frac{\ddot{a}}{ac^2} \end{align}

(35)

\begin{align} R_{ij} & = -\Gamma^\rho_{\ ij,\rho} + \Gamma^\rho_{\ i\rho,j} - \Gamma^\rho_{\ \rho\lambda}\Gamma^\lambda_{\ ij} + \Gamma^\rho_{\ i\lambda}\Gamma^\lambda_{\ j\rho} \\ & = -\Gamma^0_{\ ij,0} + 0 -\Gamma^k_{\ k0}\Gamma^0_{\ ij}+\Gamma^0_{\ ik}\Gamma^k_{\ j0} + \Gamma^k_{\ i0} \Gamma^0_{\ jk} \\ & = -\frac{\ddot{a}a+\dot{a}^2}{c^2}\delta_{ij} -\frac{\dot{a}}{ac}\frac{\dot{a}a}{c}\delta^k_k \delta_{ij} + \frac{\dot{a}}{ac}\frac{\dot{a}a}{c} \delta_{ik}\delta^k_j + \frac{\dot{a}}{ac}\frac{\dot{a}a}{c} \delta_{jk}\delta^k_i\\ & = -\frac{\ddot{a}a+\dot{a}^2}{c^2}\delta_{ij} -3\frac{\dot{a}}{ac}\frac{\dot{a}a}{c} \delta_{ij} + 2 \frac{\dot{a}}{ac}\frac{\dot{a}a}{c} \delta_{ij}\\ & = -\frac{a^2}{c^2}\left(\frac{\ddot{a}}{a}+2\frac{\dot{a}^2}{a^2}\right)\delta_{ij} \end{align}

(36)

with $\delta_{ik}\delta^k_j=\delta_{ij}$ and $\delta^k_k=3$ .

Now the Einstein tensor : From the Einstein equation $G_{\mu\nu} - \Lambda g_{\mu\nu} = -8\pi G T_{\mu\nu}/c^4$ write the Friedmann equations:

\left\lbrace \begin{array}{l} \displaystyle{3 \left( \frac{\dot{a}^2}{a^2}+ \frac{c^2k}{a^2} \right) = 8\pi \GN \rho + c^2 \Lambda} \\ \displaystyle{\frac{2\ddot{a}a + \dot{a}^2 + c^2 k}{a^2} = - 8\pi \GN P/c^2 + c^2 \Lambda } \end{array} \right.

(37)

(here we admit the Friedmann equations with an arbitrary curvature $k$ ).

\begin{align} R &= g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} \\ & = g^{00}R_{00} + g^{ij}R_{ij}\\ & = -1\times\left( 3 \frac{\ddot{a}}{ac^2}\right) - g^{ij}\delta_{ij} \frac{a^2}{c^2}\left(\frac{\ddot{a}}{a}+2\frac{\dot{a}^2}{a^2}\right) \\ & = -1\times\left( - 3 \frac{\ddot{a}}{ac^2}\right) -\frac{\delta^i_i}{a^2} \frac{a^2}{c^2}\left(\frac{\ddot{a}}{a}+2\frac{\dot{a}^2}{a^2}\right) \\ & = -6 \left(\frac{\ddot{a}}{ac^2} + \frac{\dot{a}^2}{a^2c^2}\right) \\ \end{align}

(38)

with $g^{ij}=\delta^{ij}/a^2$ and $\delta^i_i=3$ .

\begin{align} G_{00} &= R_{00}-g_{00}R/2 \\ & = 3 \frac{\ddot{a}}{ac^2} - \frac{6}{2}\left(\frac{\ddot{a}}{ac^2} + \frac{\dot{a}^2}{a^2c^2}\right) \\ & =- 3 \frac{\dot{a}^2}{a^2c^2} \end{align}

(39)

\begin{align} G_{ij} &= R_{ij}-g_{ij}R/2 \\ & =-\frac{a^2}{c^2}\left(\frac{\ddot{a}}{a}+2\frac{\dot{a}^2}{a^2}\right)\delta_{ij} -(a^2\delta_{ij})\times \frac{-6}{2}\left(\frac{\ddot{a}}{ac^2} + \frac{\dot{a}^2}{a^2c^2}\right) \\ & = a^2\left(2\frac{\ddot{a}}{ac^2}+ \frac{\dot{a}^2}{a^2c^2}\right) \delta_{ij} \end{align}

(40)

Using the definition of $T_{\mu\nu}$ , we obtain directly the two Friedmann equations:

G_{\mu\nu} - \Lambda g_{\mu\nu} = -\frac{8\pi \GN}{c^4}T_{\mu\nu}

(41)

\begin{align} 3{\dot{a}^2 \over a^2}&=& 8 \pi \GN \rho + c^2 \Lambda\\ 2{\ddot{a} \over a} + {\dot{a}^2 \over a^2}& =& - {8 \pi \GN \over c^2}P + c^2 \Lambda \end{align}

(42)

Using $H=\dot a / a$ :

\left\lbrace \begin{array}{l} \displaystyle{3 H^2+ \frac{3kc^2}{a^2} = 8\pi \GN \rho + c^2\Lambda} \\ \displaystyle{2\dot{H} + 3H^2 + \frac{c^2k}{a^2} = - 8\pi \GN P/c^2 + c^2\Lambda } \end{array} \right.

(43)

using $\ddot{a}/a=\dot{H}+H^2$ .

And finally the energy-momentum tensor conservation:

\begin{align} 8\pi G \dot{\rho} & = 6\dot{H}H - \frac{6c^2 k \dot{a}}{a^3} \\ & = 3H \left[-8\pi \GN P / c^2 + c^2 \Lambda - 3 H^2 - \frac{kc^2}{a^2}\right] - 6 H \frac{kc^2}{a^2} \\ & = 3H \left[-8\pi \GN P / c^2 -8 \pi \GN \rho + 2\frac{kc^2}{a^2}\right] - 6 H \frac{kc^2}{a^2} \\ & = 3H \left[-8\pi \GN P / c^2 -8 \pi \GN \rho \right] \end{align}

(44)

and $\dot{\rho} c^2 = -3 H(\rho c^2 + P)$ . This is the same result as in the $T^{\beta \alpha}_{\,\,\,\,\,\,;\alpha}=0$ computation (as expected).

Solution to Exercise 2

\dd U = T \dd S - P \dd V

(45)

U = a^3 \epsilon, \quad V = a^3

(46)

\dd(a^3 \epsilon) = - P \dd (a^3) + T \dd S \Rightarrow 3 \dot{a} a^2 \epsilon + a^3 \dot{\epsilon} = - 3 P \dot{a} a^2 + T \frac{\dd S}{\dd t}\Rightarrow \dot{\epsilon} = -3\frac{\dot{a}}{a}(P+\epsilon) +T \frac{\dd S}{\dd t}

(47)

Donc

\frac{\dd S}{\dd t} = 0

(48)

et l’expansion est isentropique. C’est attendu étant donné que pour un Univers homogène et isotrope le tenseur énergie-impulsion est celui d’un fluide parfait donc sans viscosité ni transfert de chaleur. L’évolution est donc adiabatique ( $\delta Q=0$ ).

3Inventaire cosmologique¶

Le tenseur énergie-impulsion inclut la matière non-relativiste et relativiste. La matière relativiste est généralement nommée rayonnement car aujourd’hui le rayonnement de photons du CMB est largement dominant dans cette composante.

Matière¶

La matière non relativiste n’exerce pas de pression donc

P_m=0,

(49)

puis :

\dot{\rho}_m = -3 H\rho_m \Rightarrow \rho_m = \rho_m^0 \left(\frac{a_0}{a}\right)^{3}.

(50)

Cette dernière relation traduit bien le fait que si une boîte de côté $a$ contenant une certaine quantité de matière voit la longueur de ses côtés doubler, alors la densité de matière est bien divisée par 2³.

Photons et neutrinos¶

Pour la matière relativiste (photons, neutrinos),

P_r = \frac{1}{3} \epsilon_r,

(51)

donc :

\dot{\epsilon}_r = -4 H\epsilon_r \Rightarrow \epsilon_r = \epsilon_r^0 \left(\frac{a_0}{a}\right)^{4}.

(52)

Le raisonnement avec une boîte cubique de côté $a$ s’applique aussi ici, mais si toutes les longueurs doublent, alors la longueur d’onde du rayonnement aussi donc son énergie est divisée par 2. On retrouve bien une diminution de la densité d’énergie de rayonnement en 2⁴.

Constante cosmologique¶

Dans les équations de Friedmann (27), il est possible d’interpréter la constante cosmologique Λ et la courbure $k$ en terme de densités d’énergie au même titre que la densité d’énergie ρ du tenseur énergie-impulsion.

La densité d’énergie associée à la constante cosmologique est parfois appelée densité d’énergie noire, en raison des étranges propriétés associées à cette dernière :

\epsilon_\Lambda(t) = \rho_\Lambda c^2 = \frac{c^4 \Lambda}{8\pi \GN} = \text{ constante }.

(57)

On voit que la densité d’énergie associée à la constante cosmologique étant constante dans le temps, cette dernière possède un comportement bien singulier : quelque soit la taille de l’Univers, il y a toujours autant d’énergie par unité de volume. Elle n’est donc pas diluée comme toute énergie ordinaire lorsque celui-ci est en expansion. De plus, grâce à la seconde équation de Friedmann, on voit que la pression associée à la constante cosmologique serait :

P_\Lambda = - \epsilon_\Lambda,

(58)

soit une pression négative ! Dans la physique ordinaire, un des rares phénomènes où interviennent des pressions négatives est la cavitation (<wiki:Pressure#Negative_pressures). En posant $\epsilon_{\mathrm{tot}}=\epsilon + \epsilon_\Lambda$ (et $P_{\mathrm{tot}}=P + P_\Lambda$ ) puis en combinant les deux équations de Friedmann (27) de façon à éliminer le terme de courbure, on obtient :

2\dot{H} + 2H^2 = \frac{2\ddot{a}}{a} = -\frac{8\pi \GN}{3}\left( \epsilon _{\mathrm{tot}} + 3P_{\mathrm{tot}}\right).

(59)

On constate que l’expansion de l’Univers s’accélère ( $\ddot{a}>0$ ) si $P_{\mathrm{tot}}<-\epsilon_{\mathrm{tot}}/3$ . L’Univers étant constitué essentiellement de matière non relativiste et de rayonnement, la condition précédente devient équivalente à :

\ddot{a} > 0 \Leftrightarrow \epsilon_\Lambda > \epsilon_r + \epsilon_m/2

(60)

En conclusion, si la constante cosmologique domine le contenu en énergie de l’Univers, alors elle engendre une telle pression négative que ce dernier entre en expansion accélérée.

Courbure¶

La densité d’énergie associée à l’énergie de courbure s’identifie à :

\epsilon_k(t) =\rho_k(t) c^2 = - \frac{3 c^4 k }{8\pi \GN a^2(t)}.

(63)

De même, son effet en terme de pression est :

P_k = \frac{c^4 k}{8\pi \GN a^2(t)}.

(64)

4Les paramètres cosmologiques¶

Paramètres d’équation d’état¶

L’équation d’état $w$ associée à une composante de l’Univers est définie par le rapport de sa pression et de sa densité d’énergie :

\boxed{w=P/\epsilon}

(65)

La matière froide non relativiste n’exerce pas de pression sur son milieu extérieur d’où $P_m=0$ donc $w_m=0$ .
La matière relativiste exerce quant à elle une pression sur son milieu de valeur $P_r = \epsilon_r / 3$ d’où $w_r=1/3$ .
Pour la constante cosmologique, on a $P_\Lambda = - \epsilon_\Lambda$ donc son équation d’état est constante et négative $w_\Lambda = -1$ .
La courbure assimilée à un fluide parfait aurait un paramètre d’équation d’état $w_k=1/3$ .

Paramètres de densité d’énergie¶

On peut définir une densité critique, qui correspondrait à la densité que l’on doit avoir dans un univers homogène et isotrope en expansion de courbure spatiale nulle (cf équation (27)) :

\rho_c(t) = \frac{3H^2(t)}{8\pi \GN}.

(66)

Il est commode de définir aussi sa valeur actuelle :

\rho_{c}^0 = \frac{3H^2_0}{8\pi \GN} = 1.1 \times 10^{-29} \left( \frac{H_0}{75\text{ km/s/Mpc}}\right)^2\text{ g/cm}^3 \approx 6 \text{ protons/m}^3.

(67)

où $H_0$ est la constante de Hubble.

On définit les paramètres de densité (sans dimension) en normalisant les densités d’énergie par la densité critique, soit :

\Omega_m(t) = \frac{\rho_m(t)}{\rho_c(t)},\quad \Omega_\Lambda(t) = \frac{c^2 \Lambda}{3H^2(t)}, \quad \Omega_k(t) = -\frac{c^2 k}{a^2(t)H^2(t)}

(68)

\Omega_m^0 = \frac{\rho_m^0}{\rho_c^0},\quad \Omega_\Lambda^0 = \frac{c^2 \Lambda}{3H^2_0}, \quad \Omega_k^0 = -\frac{c^2 k}{a_0^2 H^2_0}.

(69)

La première équation de Friedmann s’écrit alors simplement :

1 = \Omega_m(t) + \Omega_r(t) + \Omega_\Lambda(t) + \Omega_k(t)

(70)

\bar H^2 (t) \equiv \frac{H^2(t)}{H_0^2} = \Omega_m^0 \left(\frac{a_0}{a(t)}\right)^{3} + \Omega_r^0 \left(\frac{a_0}{a(t)}\right)^{4} + \Omega_\Lambda^0 + \Omega_k^0 \left(\frac{a_0}{a(t)}\right)^{2}.

(71)

Ce modèle d’Univers liant la prédiction de son expansion $\bar H(z)$ à son contenu composé d’une constante cosmologique, de matière et de radiation, est appelé modèle ΛCDM (Λ pour la constante cosmologique et CDM pour Cold Dark Matter) dans le cas $k=0$ (Univers plat). C’est le modèle standard de la cosmologie.

Modélisations de l’énergie noire¶

Quelle est la véritable nature de l’énergie noire ? Est-ce la manifestation de l’énergie du vide ? Une seconde constante fondamentale de la gravitation ? Ou bien une nouvelle cinquième force ? La manifestation de dimensions spatiales supplémentaires ? Ces questions sur la nature de l’énergie noire n’ont pour le moment pas de réponses, mais depuis la découverte de l’expansion accélérée en 1998 Riess et al., 1998Perlmutter et al., 1999 de nouveaux relevés cosmologiques sont en cours pour mesurer précisément l’équation d’état de l’énergie noire $w_{DE}$ : tant qu’on mesure $w_{DE} = w_\Lambda=-1$ alors l’accélération de l’expansion peut s’expliquer avec un unique paramètre qui est la valeur de Λ. Si les mesures s’écartent significativement de -1, alors des modèles plus complexes seront à tester.

C’est pourquoi aujourd’hui, en plus du modèle standard ΛCDM, les cosmologistes testent des modèles empiriques qui cherchent des écarts au modèle standard :

Flat $w$ CDM : modèle d’Univers plat avec comme paramètres libres $\Omega_m^0$ , $\Omega_r^0$ et $w_{DE}$ ;
$w$ CDM : modèle de courbure quelconque avec comme paramètres libres $\Omega_m^0$ , $\Omega_r^0$ , $\Omega_\Lambda^0$ et $w_{DE}$ ;
$w_0w_a$ CDM : modèle où le paramètre d’équation d’état de l’énergie noire est donnée par deux paramètres libres :
$w_{DE}(a) = w_0 + \left(1 - \frac{a}{a_0}\right)w_a$
(72)

L’enjeu majeur pour les relevés cosmologiques actuels et futurs est de mesurer $w_a$ , afin de mesurer les variations de l’accélération de l’expansion de l’Univers.

5Distances cosmologiques¶

La cosmologie est une science observationnelles. Il faut inférer les propriétés de l’Univers sans pouvoir se déplacer ou refaire l’expérience du Big Bang, mais à partir de nos observations seulement. Les paramètres cosmologiques sont liés au taux d’expansion de l’Univers $H(z)$ . Donc pour pouvoir les estimer nous devons être capable de mesurer $H(z)$ . Ce taux d’expansion est présent dans les distances propres et comovings définies Sec. {number}, mais celles-ci ne sont pas mesurables. Par contre, avec des télescopes on peut mesurer des flux lumineux et des angles: si on connaît la luminosité de l’objet observé ou sa taille physique on peut en définir sa distance et la lier au taux d’expansion $H(z)$ .

Distance de Hubble¶

Avec les paramètres $c$ et $H_0$ , il est possible de construire une quantité homogène à une longueur. Cette distance typique en cosmologie est appelée distance de Hubble et vaut :

D_H = \frac{c}{H_0} = 3000\,\text{Mpc/}h

(73)

où $h$ est usuellement défini par :

H_0 = 100\,h\,\text{km/s/Mpc}

(74)

Donc pour $h=0.7$ , on trouve $D_H \approx 4.3 \,\text{Gpc} \approx 14 \,\text{Gly}$ . Cette valeur va apparaître pour toutes les distances (non comovings) définies ci-après.

Distance de luminosité¶

Dans un espace statique et plat, la luminosité apparente d’une source au repos à distance $D_L$ serait $L_E/4\pi D_L^2$ . On propose donc de définir la distance de luminosité d’une source $D_L(z)$ en cosmologie par :

\Phi_0 \equiv \frac{L_E}{4 \pi D_L^2(z)}

(75)

Considérons une source située en $\sigma_E$ , émettant $\delta N_E$ photons de fréquence moyenne $\nu_E$ à l’instant $t_E$ pendant un temps $\delta t_E$ (se reporter encore à la Figure 6). Sa luminosité est :

L_E = h\nu_E \frac{\delta N_E }{\delta t_E}.

(76)

Alors le flux surfacique reçu par un observateur possédant un télescope d’ouverture $A$ est :

\Phi_0 = h \nu_0\frac{\delta N_0 }{A \delta t_0}.

(77)

La surface sur laquelle se répartit, à l’instant $t_0$ , le flux émis est:

S = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sqrt{-g} \dd\theta \dd\phi = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi a^2(t_0)\sigma^2(t_0)\sin^2\theta \dd\theta \dd\phi = 4 \pi a^2_0 \sigma^2_E.

(78)

avec $\sigma(t_0)=\sigma_E$ . Le nombre de photons émis $\delta N_E$ intercepté par la surface collectrice de taille $A$ est donc :

\delta N_0 = \delta N_E \frac{A}{4 \pi a^2_0 \sigma^2_E}.

(79)

Or à partir de l’équation (41), on a :

\nu_E = \nu_0 a_0/a(t_E) = \nu_0 (1+z)

(80)

et aussi :

\delta t_E = \delta t_0/(1+z).

(81)

D’où le flux reçu :

\Phi_0 = h \nu_0\frac{\delta N_0 }{A \delta t_0 } = h \nu_0 \frac{\delta N_E}{4 \pi a^2_0 \sigma^2_E \delta t_0 } = \frac{L_E}{4 \pi a^2_0 \sigma^2_E(1+z)^2}.

(82)

On en déduit l’expression de la distance de luminosité dans un univers courbe et en expansion, fonction des paramètres cosmologiques et le redshift :

\Rightarrow D_L(z) = a_0 \sigma_E (1+z) = a_0 (1+z) \left\lbrace \begin{array}{cl} \sin \chi(z) & \text{ si } k=+1 \\ \chi(z) & \text{ si } k=0 \\ \text{sh } \chi(z) & \text{ si } k=-1 \end{array} \right.

(83)

Le facteur d’échelle aujourd’hui $a_0$ n’est pas accessible via les équations de Friedmann qui ne donnent que le taux d’expansion. En revanche, il s’exprime en fonction des paramètres cosmologiques et $H_0$ :

\Omega_k^0 = - \frac{kc^2}{H_0^2 a_0^2} \Rightarrow a_0 = \left\lbrace\begin{array}{l} \displaystyle{\frac{c}{H_0\sqrt{-\Omega_k^0}}} \text{ if } k=+1 \\ \text{indéterminé mais usuellement valant } 1 \text{ if } k=0 \\ \displaystyle{\frac{c}{H_0\sqrt{\Omega_k^0}}} \text{ if } k=-1 \end{array} \right.

(84)

Ainsi :

\displaystyle{\chi(z) = \left\lbrace\begin{array}{cl} \displaystyle{H_0\sqrt{-\Omega_k^0}\int_0^z\frac{dz}{H(z)}} & \text{ if } k=+1 \\ \displaystyle{\frac{1}{a_0}\int_0^z\frac{cdz}{H(z)}} & \text{ if } k=0 \\ \displaystyle{H_0\sqrt{\Omega_k^0}\int_0^z\frac{dz}{H(z)} } & \text{ if } k=-1 \end{array} \right.}

(85)

D_L(z) = (1+z) \left\lbrace \begin{array}{cl} \displaystyle \frac{c}{H_0 \sqrt{-\Omega_k^0}} \sin\left[ H_0 \sqrt{-\Omega_k^0} \int_0^z \frac{\dd z}{H(z)} \right] & \text{ si } k=+1 \\ \displaystyle \int_0^z \frac{c\dd z}{H(z)} & \text{ si } k=0 \\ \displaystyle \frac{c}{H_0 \sqrt{\Omega_k^0}} \sh\left[ H_0 \sqrt{\Omega_k^0} \int_0^z \frac{\dd z}{H(z)} \right] & \text{ si } k=-1 \\ \end{array} \right. .

(86)

On a donc obtenu un lien entre une mesure de distance obtenue par la mesure du flux $\Phi_0$ d’un astre, et un modèle cosmologique fonction de paramètres à déterminer. La mesure des flux d’objets de luminosité intrinsèque $L_E$ connue permet donc d’estimer les paramètres cosmologiques.

Distances angulaires¶

Distance angulaire d’un objet de taille physique transverse l. — Figure 2:Distance angulaire d’un objet de taille physique transverse $l$ .

Dernière distance importante en cosmologie, la distance angulaire d’un objet $D_A(z)$ . Dans un espace statique et plat, l’angle apparent δ d’un objet de taille physique $l$ au repos à distance $D_A$ serait $l/D_A$ . On propose donc de définir la distance angulaire $D_A(z)$ en cosmologie par :

\delta = \frac{l}{D_A(z)}

(87)

Comment cette distance se modélise dans la métrique FLRW? Soit un objet de taille transverse physique $l$ situé en $\sigma=\sigma_E,t=t_E$ et observé aujourd’hui en $\sigma=0,t=t_0$ .

Dans l’espace physique, l’angle δ est le même que dans l’espace comoving (on passe de l’un à l’autre par une homothétie), mais aussi le même à la réception et à l’émission. L’angle sous lequel est vu l’objet est donc dans tous les cas, et pour toute courbure (voir Figure 8) :

\delta = \frac{l}{a_E \sigma_E} = \frac{l (a_0/a_E)}{a_0 \sigma_E} = \frac{l_c}{\sigma_E}

(88)

avec $l_c = l / a_E$ la taille comoving de l’objet à l’émission $t_E$ . On propose de définir la distance angulaire comoving ou distance transverse comoving simplement par :

d_A(z) = \frac{l_c}{\delta} = \sigma_E = \left\lbrace\begin{array}{cl} \sin \chi(z) & \text{ si } k=+1 \\ \chi(z) & \text{ si } k=0 \\ \sinh \chi(z) & \text{ si } k=-1 \end{array} \right. .

(89)

On en déduit aussi l’expression de la distance angulaire dans un univers courbe et en expansion, fonction des paramètres cosmologiques et du redshift :

\Rightarrow D_A(z) \equiv\frac{l}{\delta} = a(t_E) \sigma_E=\frac{a_0 \sigma_E}{1+z} = \frac{a_0}{1+z}d_A(z)=\frac{D_L(z)}{(1+z)^2}

(90)

D_A(z) = \frac{a_0}{1+z} \left\lbrace \begin{array}{cl} \sin \chi(z) & \text{ si } k=+1 \\ \chi(z) & \text{ si } k=0 \\ \sinh \chi(z) & \text{ si } k=-1 \end{array} \right.

(91)

D_A(z) = \frac{1}{1+z} \left\lbrace \begin{array}{cl} \displaystyle \dfrac{c}{H_0 \sqrt{-\Omega_k^0}} \sin\left[ H_0 \sqrt{-\Omega_k^0} \int_0^z \dfrac{\dd z}{H(z)} \right] & \text{ si } k=+1 \\ \displaystyle \int_0^z \dfrac{c \dd z}{H(z)} & \text{ si } k=0 \\ \displaystyle \dfrac{c}{H_0 \sqrt{\Omega_k^0}} \sh\left[ H_0 \sqrt{\Omega_k^0} \int_0^z \dfrac{\dd z}{H(z)} \right] & \text{ si } k=-1 \\ \end{array} \right.

(92)

D’après l’exercice Exercise 2, on voit que l’usage de σ au lieu de χ est bien adapté aux trois types de courbures d’Univers dans ces définitions des distances.

Les mesures des paramètres cosmologiques

Dans le cadre d’un Univers plat, les mesures angulaires réalisées par le satellite Planck sur le fond diffus cosmologique, combinées aux mesures de flux des supernovae de type Ia, et les distances angulaires des oscillations acoustiques de baryons permettent d’inférer le contenu en matière et énergie noire pour un univers plat aujourd’hui (Planck Collaboration et al. (2020)) :

\Omega_m^0 = 0.3111 \pm 0.0056, \quad \Omega_\Lambda^0 = 0.6889 \pm 0.0056

(94)

Si la courbure est un paramètre libre du modèle (on parle d’extension au modèle standard ΛCDM), on mesure :

\Omega_k^0 = 0.0007\pm 0.0037

(95)

Si on propose un modèle à deux paramètres pour l’énergie noire, on obtient (Planck Collaboration et al. (2020)) :

w_0 = −0.957 \pm 0.080, \quad w_a = −0.29^{+0.32}_{ −0.26}

(96)

Solution to Exercise 3

Suppose that density of the dark energy as cosmological constant is equal to the present critical density, $\rho_\Lambda=\rho_c$ . What is then the total amount of dark energy inside the Solar System? Compare this number with $M_\odot c^2$ .

\rho_c\approx 10^{-29}\,\text{g/cm}^3

(97)

R\approx 50\,\text{A.U.}

(98)

$$1,\text{A.U.}\approx 1.5\times 1011m;EDESS/c2≃0.2⋅1014 kg;M⊙≃2⋅1030 kg;EDESSM⊙c2≃10−17.

Transform Lambda into a length: Length = sqrt(1/Lambda) = ....

Footnotes¶

Le choix des notations pour ces fonctions mathématiques n’a pas été fait par hasard...
↩

References¶

Weinberg, S. (1972). Gravitation and cosmology: principles and applications of the general theory of relativity. http://www.lavoisier.fr/livre/notice.asp?ouvrage=1382255
Riess, A. G., Filippenko, A. V., Challis, P., Clocchiatti, A., Diercks, A., Garnavich, P. M., Gilliland, R. L., Hogan, C. J., Jha, S., Kirshner, R. P., Leibundgut, B., Phillips, M. M., Reiss, D., Schmidt, B. P., Schommer, R. A., Smith, R. C., Spyromilio, J., Stubbs, C., Suntzeff, N. B., & Tonry, J. (1998). Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant. The Astronomical Journal, 116(3), 1009–1038. 10.1086/300499
Perlmutter, S., Aldering, G., Goldhaber, G., Knop, R. A., Nugent, P., Castro, P. G., Deustua, S., Fabbro, S., Goobar, A., Groom, D. E., Hook, I. M., Kim, A. G., Kim, M. Y., Lee, J. C., Nunes, N. J., Pain, R., Pennypacker, C. R., Quimby, R., Lidman, C., … Project, T. S. C. (1999). Measurements of Ω and Λ from 42 High-Redshift Supernovae. The Astrophysical Journal, 517(2), 565–586. 10.1086/307221
Planck Collaboration, Aghanim, N., Akrami, Y., Ashdown, M., Aumont, J., Baccigalupi, C., Ballardini, M., Banday, A. J., Barreiro, R. B., Bartolo, N., Basak, S., Battye, R., Benabed, K., Bernard, J.-P., Bersanelli, M., Bielewicz, P., Bock, J. J., Bond, J. R., Borrill, J., … Zonca, A. (2020). Planck 2018 results - VI. Cosmological parameters. A&A, 641, A6. 10.1051/0004-6361/201833910

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